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Achsensymmetrie

Stellen wir uns einen Schmetterling vor. Mittig durch seinen länglichen Körper stellen wir uns weiterhin eine zentrale Linie in Längsrichtung vor. Das ist dann jene Achse, von der im Zusammenhang mit der Achsensymmetrie die Rede ist. Denn zu beiden Seiten dieser Symmetrieachse ergibt sich jeweils ein halber Schmetterling, und beide Hälften sehen gleich aus; man kann diese Achsensymmetrie quasi wie einen Spiegel auffassen.

Eigentlich ist es nicht exakt richtig, was hier soeben versucht wurde so plausibel als Achsensymmetrie zu verkaufen, denn gerade in der Natur gibt es keine hundertprozentige Achsensymetrie. Schaut man sehr genau hin, wird man doch winzige Unterschiede finden in beiden Schmetterlingshälften. Diesen Effekt einmal an seinem Gesicht auszuprobieren, lohnt sich, weil es ggf. ganz lustig sein kann. Zuerst spiegelt man die linke Hälfte seines Gesichts an einer Symmetrieachse, die senkrecht genau mit der Nasenscheidewand zusammen fällt, und danach wiederholt man den Vorgang mit der rechten Gesichtshälfte. Wenn beide Bilder, also beide Gesichter quasi gleich aussehen, dann liegt tatsächlich in etwa Achsensymmetrie vor, dann ist man ein hübscher Mensch. Mit dem Alter entstehen aber z. B. nur links eine schiefe Augenbraue und rechts eine hässliche, fette Warze; ein solcher Vergleich der Gesichtshälften liefert dann ganz unterschiedliche Menschentypen.

Achsensymmetrie

Die Achsensymmetrie ist auch Axialsymmetrie, Spiegelsymmetrie oder axiale Symmetrie genannt.

So ist die Achsensymmetrie, manchmal auch Axialsymmetrie, Spiegelsymmetrie oder axiale Symmetrie genannt, eher ein Begriff der Geometrie und geometrischer Figuren oder auch dreidimensionaler Körper. Bei letzteren steht eine weitere Dimension zur Verfügung; das gilt dann auch für die Symmetrie, die sich hier nicht mehr an einer Linie, sondern an einer Fläche, der Symmetrieebene (einer Spiegelfläche) ergibt.

Verbindet man bei Achsensymmetrie zwei gespiegelte Punkte mit einer Linie, dann ist diese Linie senkrecht zur Symmetrieachse bzw. zur Symmetrieebene. Beispiele dafür gibt es sehr viele:
Der Durchmesser eines Kreises geht durch den Kreismittelpunkt und stellt zugleich eine Symmetrieachse bezüglich der beiden Halbkreise dar. Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks ist Symmetrieachse für die beiden gleichgroßen Schenkel (Seiten, Hälften) des Dreiecks. Die Diagonale eines Quadrats ist zugleich auch Symmetrieachse; die Diagonale eines Rechtecks aber nicht !

So sind auch alle rotationssymmetrischen Körper, z. B. ein Zylinder oder ein einfaches Wasserglas, viele einfache Flaschen achsensymmetrisch bezüglich ihrer zentralen Rotationsachse. Die Lage bzw. Positionierung einer Symmetrieebene spielt dann eine Rolle, wenn z. B. noch zusätzliche Verzierungen hinzu treten; Vasen mit zwei Hänkeln wären eine solche spezielle Form, die nur dann spiegelsymmetrisch ist, wenn die Symmetrieebene exakt mittig durch beide Henkel schneidet, oder eben genau senkrecht dazu. Jede andere Verdrehung der Symmetrieebene (um die Mittelachse) liefert keine Spiegel- bzw. Achsensymmetrie. In der Kristallographie spielen Symmetrieebenen eine wichtige Rolle zur eindeutigen Beschreibung bzw. Bewertung der verschiedenen Kristallformen.

In der Algebra sind es Funktionen der Art f(x) = f(-x), wo die Y-Achse zugleich eine Symmetrieachse ist. Ein sehr einfaches Beispiel ist die Funktion: y = x^2 (lies X-Quadrat). Die Funktionswerte beispielsweise von x=3 und x=-3 sind gleich, nämlich y=+9; die sich ergebende Parabel hat eine symmetrische Form, was übrigens auch für so viele andere Polynome mit geradzahligen Exponenten gilt.