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Punktsymmetrie

Eine geometrische Figur verfügt über eine Punktsymmetrie, wenn sie über eine Punktspiegelung dargestellt werden kann. Den Punkt, an welchem diese Spiegelung erfolgt, bezeichnet man als Symmetriezentrum. Die Punktsymmetrie ist ein besonderer Fall der Drehsymmetrie, da die Punktspiegelung einer Drehung der geometrischen Figur von 180° entspricht.

Punktsymmetrie

Eine geometrische Figur verfügt über eine Punktsymmetrie, wenn sie über eine Punktspiegelung dargestellt werden kann.

Der Allgemeine Fall

Gegeben sei der beliebige Punkt (Y/Z) in der Ebene. Eine Punktsymmetrie zu diesem Punkt liegt vor, wenn die Gleichung

f(Y+x)-Z= -f(Y-x)+Z

erfüllt ist. Wird nun der Teil x mit x-Y substituiert, so erhält man folgende Gleichung:

f(x)=2*Z-f((2*Y-x)

Hiermit ist eine allgemeine Formel zur Punktsymmetrie hergeleitet.

Die Punktsymmetrie zum Ursprung

Der Spezialfall liegt dann vor, wenn es sich um eine Punktsymmetrie zum Ursprung handelt. Die oben stehende Gleichung vereinfacht sich hiermit zu folgender:

f(-x)= -f(x)

Ist diese Gleichung erfüllt, handelt es sich bei der Funktion f um eine ungerade Funktion und es liegt eine Symmetrie zum Ursprung des Koordinatensystems vor. Hier einige Beispiele für Funktionen, bei denen eine Punktsymmetrie vorliegt:

  • f(x)=x³
  • f(x)=-3x³+2x
  • f(x) = 2x^5

Darüberhinaus ist jeder Kreis zu seinem Mittelpunkt punktsymmetrisch, während ein Dreieck niemals punktsymmetrisch sein kann. Bei Vierecken liegt in dem Falle eine Punktsymmetrie vor, wenn ein Parallelogramm vorliegt. Der Schnittpunkt der Diagonalen fungiert hierbei als Symmetriezentrum. Das Rechteck, die Raute und das Quadrat sind hierbei Sonderfälle eines Parallelogramms und damit punktsymmetrisch.

Unterschied zur Achsensymmetrie

Die Achsensymmetrie ist dadurch definiert, dass hier das Spiegelzentrum eine Achse ist. Die Achsensymmetrie bei Funktionsgraphen wird mit Hilfe der Gleichung

f(-x)=f(x)

definiert.

Diese Gleichung beschreibt den Fall, dass die Funktion zur Ordinate (der y-Achse) symmetrisch ist. In diesem Falle ist die Funktion f eine gerade Funktion.

Anwendungen

Die Anwendung der Punktsymmetrie liegt vor allem im Mathematikunterricht der Schule vor, im Teilgebiet der Analysis. Hier muss man beispielsweise einen Funktionsgraphen darauf prüfen, ob eine Punktsymmetrie vorliegt. Es ist also vor allem für Schüler lohnenswert diesen Teilaspekt der Analysis zu wiederholen, da er in jeder Klausur eine Rolle spielt.